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    2022高中必背88個數學公式

    2021-12-01 14:33:38文/丁雪竹

    [直線過焦點],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A為直線與焦點所在軸夾角,是銳角。x為分離比,必須大于1。注:上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上),用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上),右邊為(x+1)/(x-1),其他不變。

    2022高中必背88個數學公式

    高中必背88個數學公式是什么

    2 . 函數的周期性問題(記憶三個)

    (1)若f(x)=-f(x+k),則T=2k;

    (2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k;

    (3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6k。

    注意點:a.周期函數,周期必無限b.周期函數未必存在最小周期,如:常數函數。c.周期函數加周期函數未必是周期函數,如:y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。

    3 . 關于對稱問題(無數人搞不懂的問題)總結如下

    (1)若在R上(下同)滿足:f(a+x)=f(b-x)恒成立,對稱軸為x=(a+b)/2

    (2)函數y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱;

    (3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關于(a,b)中心對稱

    4 . 函數奇偶性

    (1)對于屬于R上的奇函數有f(0)=0;

    (2)對于含參函數,奇函數沒有偶次方項,偶函數沒有奇次方項

    (3)奇偶性作用不大,一般用于選擇填空

    5 . 數列爆強定律

    (1)等差數列中:S奇=na中,例如S13=13a7(13和7為下角標);

    (2)等差數列中:S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差

    (3)等比數列中,上述2中各項在公比不為負一時成等比,在q=-1時,未必成立

    (4)等比數列爆強公式:S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q

    6 . 數列的終極利器,特征根方程

    首先介紹公式:對于an+1=pan+q(n+1為下角標,n為下角標),

    a1已知,那么特征根x=q/(1-p),則數列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x,這是一階特征根方程的運用。

    二階有點麻煩,且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)

    7 . 函數詳解補充

    1、復合函數奇偶性:內偶則偶,內奇同外

    2、復合函數單調性:同增異減

    3、重點知識關于三次函數:恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。

    它有一個對稱中心,求法為二階導后導數為0,根x即為中心橫坐標,縱坐標可以用x帶入原函數界定。另外,必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

    8 . 常用數列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法

    前面減去一個1,后面加一個,再整體加一個2

    9 . 適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式

    k橢=-{(b2)xo}/{(a2)yo}k雙={(b2)xo}/{(a2)yo}k拋=p/yo

    注:(xo,yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

    10 . 強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

    已知直線L1:a1x+b1y+c1=0直線L2:a2x+b2y+c2=0

    若它們垂直:(充要條件)a1a2+b1b2=0;

    若它們平行:(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[

    這個條件為了防止兩直線重合)

    注:以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩,直接必殺!

    11 . 經典中的經典

    相信鄰項相消大家都知道。

    下面看隔項相消:

    對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

    注:隔項相加保留四項,即首兩項,尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上,那樣看起來會很清爽以及整潔!

    12 . 爆強△面積公式

    S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

    注:這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題

    13 . 你知道嗎?空間立體幾何中:以下命題均錯

    (1)空間中不同三點確定一個平面

    (2)垂直同一直線的兩直線平行

    (3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

    (4)如果一條直線與平面內無數條直線垂直,則直線垂直平面

    (5)有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

    (6)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐

    注:對初中生不適用。

    14 . 一個小知識點

    所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

    15 . 求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數)的最小值

    答案為:當n為奇數,最小值為(n2-1)/4,在x=(n+1)/2時取到;

    當n為偶數時,最小值為n2/4,在x=n/2或n/2+1時取到。

    16 . √〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數,是統一定義域)

    17 . 橢圓中焦點三角形面積公式

    S=b2tan(A/2)在雙曲線中:S=b2/tan(A/2)

    說明:適用于焦點在x軸,且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

    18 . 爆強定理

    空間向量三公式解決所有題目:cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的?!料蛄縝的模]

    (1)A為線線夾角

    (2)A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)

    (3)A為面面夾角注:以上角范圍均為[0,派/2]。

    19 . 爆強公式

    12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2

    20 . 爆強切線方程記憶方法

    寫成對稱形式,換一個x,換一個y

    舉例說明:對于y2=2px可以寫成y×y=px+px

    再把(xo,yo)帶入其中一個得:y×yo=pxo+px

    21 . 爆強定理

    (a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數為:Cn+22,n+2在下,2在上

    22 . 轉化思想

    切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離,r為圓半徑,而d最小為圓心到直線的距離。

    23 . 對于y2=2px

    過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p。

    爆強定理的證明:對于y2=2px,設過焦點的弦傾斜角為A

    那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕,所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]

    所以求和再據三角知識可知。

    (題目的意思就是弦AB過焦點,CD過焦點,且AB垂直于CD)

    24 . 關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強

    ∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

    25 . 關于解決證明含ln的不等式的一種思路

    舉例說明:證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

    把左邊看成是1/n求和,右邊看成是Sn。

    解:令an=1/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+1)-lnn,

    那么只需證an>bn即可,根據定積分知識畫出y=1/x的圖。

    an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。

    注:僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣,就是把左邊、右邊看成是數列求和,證面積大小即可。說明:前提是含ln。

    26 . 爆強簡潔公式

    向量a在向量b上的射影是:〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。

    記憶方法:在哪投影除以哪個的模

    27 . 說明一個易錯點

    若f(x+a)[a任意]為奇函數,那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕

    同理如果f(x+a)為偶函數,可得f(x+a)=f(-x+a) 牢記

    28 . 離心率爆強公式

    e=sinA/(sinM+sinN)

    注:P為橢圓上一點,其中A為角F1PF2,兩腰角為M,N

    29 . 橢圓的參數方程也是一個很好的東西,它可以解決一些最值問題。

    比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。

    解:令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

    30 . 僅供有能力的童鞋參考的爆強公式

    和差化積

    sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

    積化和差

    sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

    31 . 爆強定理

    直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。

    32 . 三角形垂心爆強定理

    (1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心,H為垂心)

    (2)若三角形的三個頂點都在函數y=1/x的圖象上,則它的垂心也在這個函數圖象上。

    33 . 維維安尼定理(不是很重要(僅供娛樂))

    正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值,這定值等于該三角形的高。

    34 . 爆強思路

    如果出現兩根之積x1x2=m,兩根之和x1+x2=n

    我們應當形成一種思路,那就是返回去構造一個二次函數

    再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。

    35 . 常用結論

    過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。

    O為原點,連接AO.BO。必有角AOB=90度

    36 . 爆強公式

    ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。

    舉例說明:ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)

    證明如下:令x=1/(n2),根據ln(x+1)≤x有左右累和右邊

    再放縮得:左和<1-1/n<1證畢!

    37 . 函數y=(sinx)/x是偶函數

    在(0,派)上它單調遞減,(-派,0)上單調遞增。

    利用上述性質可以比較大小。

    38 . 函數

    y=(lnx)/x在(0,e)上單調遞增,在(e,+無窮)上單調遞減。

    另外y=x2(1/x)與該函數的單調性一致。

    39 . 幾個數學易錯點

    (1)f`(x)<0是函數在定義域內單調遞減的充分不必要條件

    (2)研究函數奇偶性時,忽略最開始的也是最重要的一步:考慮定義域是否關于原點對稱

    (3)不等式的運用過程中,千萬要考慮"="號是否取到

    (4)研究數列問題不考慮分項,就是說有時第一項并不符合通項公式,所以應當極度注意:數列問題一定要考慮是否需要分項!

    40 . 提高計算能力五步曲

    (1)扔掉計算器

    (2)仔細審題(提倡看題慢,解題快),要知道沒有看清楚題目,你算多少都沒用

    (3)熟記常用數據,掌握一些速算技

    (4)加強心算、估算能力

    (5)檢驗

    41 . 一個美妙的公式

    已知三角形中AB=a,AC=b,O為三角形的外心,

    則向量AO×向量BC(即數量積)=(1/2)[b2-a2]

    證明:過O作BC垂線,轉化到已知邊上

    42 . 函數

    ①函數單調性的含義:大多數同學都知道若函數在區間D上單調,則函數值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小),但有些意思可能有些人還不是很清楚,若函數在D上單調,則函數必連續(分段函數另當別論)這也說明了為什么不能說y=tanx在定義域內單調遞增,因為它的圖像被無窮多條漸近線擋住,換而言之,不連續.還有,如果函數在D上單調,則函數在D上y與x一一對應.這個可以用來解一些方程.至于例子不舉了

    ②函數周期性:這里主要總結一些函數方程式所要表達的周期設f(x)為R上的函數,對任意x∈R

    (1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加絕對值,下同)

    (2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

    (3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

    (4)設T≠0,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)≠x則函數的周期為2

    43 . 奇偶函數概念的推廣

    (1)對于函數f(x),若存在常數a,使得f(a-x)=f(a+x),則稱f(x)為廣義(Ⅰ)型偶函數,且當有兩個相異實數a,b滿足時,f(x)為周期函數T=2(b-a)

    (2)若f(a-x)=-f(a+x),則f(x)是廣義(Ⅰ)型奇函數,當有兩個相異實數a,b滿足時,f(x)為周期函數T=2(b-a)

    (3)有兩個實數a,b滿足廣義奇偶函數的方程式時,就稱f(x)是廣義(Ⅱ)型的奇,偶函數.且若f(x)是廣義(Ⅱ)型偶函數,那么當f在[a+b/2,∞)上為增函數時,有f(x1)<f(x2)等價于絕對值x1-(a+b p="" <="" 2)<絕對值x2-(a+b)="">

    44 . 函數對稱性

    (1)若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數關于(a+b/2,c/2)成中心對稱

    (2)若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數關于直線x=a+b/2成軸對稱

    柯西函數方程:若f(x)連續或單調

    (1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),則f(x)=㏒ax

    (2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出)

    (3)f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x

    (4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)=kx

    45 . 與三角形有關的定理或結論中學數學平面幾何最基本的圖形就是三角形

    ①正切定理(我自己取的,因為不知道名字):在非Rt△中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

    ②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理):

    在△ABC中,

    a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

    ③任意三角形內切圓半徑r=2S/a+b+c(S為面積),外接圓半徑應該都知道了吧

    ④梅涅勞斯定理:設A1,B1,C1分別是△ABC三邊BC,CA,AB所在直線的上的點,則A1,B1,C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1

    44 . 易錯點

    (1)函數的各類性質綜合運用不靈活,比如奇偶性與單調性常用來配合解決抽象函數不等式問題;

    (2)三角函數恒等變換不清楚,誘導公式不迅捷。

    45 . 易錯點

    (3)忽略三角函數中的有界性,三角形中角度的限定,比如一個三角形中,不可能同時出現兩個角的正切值為負

    (4)三角的平移變換不清晰,說明:由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫坐標變成原來的1/∣w∣倍

    46 . 易錯點

    (5)數列求和中,常常使用的錯位相減總是粗心算錯

    規避方法:在寫第二步時,提出公差,括號內等比數列求和,最后除掉系數;

    (6)數列中常用變形公式不清楚,如:an=1/[n(n+2)]的求和保留四項

    47 . 易錯點

    (7)數列未考慮a1是否符合根據sn-sn-1求得的通項公式;

    (8)數列并不是簡單的全體實數函數,即注意求導研究數列的最值問題過程中是否取到問題

    48 . 易錯點

    (9)向量的運算不完全等價于代數運算;

    (10)在求向量的模運算過程中平方之后,忘記開方。

    比如這種選擇題中常常出現2,√2的答案…,基本就是選√2,選2的就是因為沒有開方;

    (11)復數的幾何意義不清晰

    49 . 關于輔助角公式

    asint+bcost=[√(a2+b2)]sin(t+m)其中tanm=b/a[條件:a>0]

    說明:一些的同學習慣去考慮sinm或者cosm來確定m,個人覺得這樣太容易出錯

    最好的方法是根據tanm確定m.(見上)。

    舉例說明:sinx+√3cosx=2sin(x+m),

    因為tanm=√3,所以m=60度,所以原式=2sin(x+60度)

    50 . A、B為橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意兩點。若OA垂直OB,則有1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2

    高中數學常用公式記憶口訣

    《集合與函數》

    內容子交并補集,還有冪指對函數。性質奇偶與增減,觀察圖象最明顯。

    復合函數式出現,性質乘法法則辨,若要詳細證明它,還須將那定義抓。

    指數與對數函數,兩者互為反函數。底數非1的正數,1兩邊增減變故。

    函數定義域好求。分母不能等于0,偶次方根須非負,零和負數無對數;

    正切函數角不直,余切函數角不平;其余函數實數集,多種情況求交集。

    兩個互為反函數,單調性質都相同;圖象互為軸對稱,y=x是對稱軸;

    求解非常有規律,反解換元定義域;反函數的定義域,原來函數的值域。

    冪函數性質易記,指數化既約分數;函數性質看指數,奇母奇子奇函數,

    奇母偶子偶函數,偶母非奇偶函數;圖象第一象限內,函數增減看正負。

    《三角函數》

    三角函數是函數,象限符號坐標注。函數圖象單位圓,周期奇偶增減現。

    同角關系很重要,化簡證明都需要。正六邊形頂點處,從上到下弦切割;

    中心記上數字1,連結頂點三角形;向下三角平方和,倒數關系是對角,

    頂點任意一函數,等于后面兩根除。誘導公式就是好,負化正后大化小,

    變成稅角好查表,化簡證明少不了。二的一半整數倍,奇數化余偶不變,

    將其后者視銳角,符號原來函數判。兩角和的余弦值,化為單角好求值,

    余弦積減正弦積,換角變形眾公式。和差化積須同名,互余角度變名稱。

    計算證明角先行,注意結構函數名,保持基本量不變,繁難向著簡易變。

    逆反原則作指導,升冪降次和差積。條件等式的證明,方程思想指路明。

    萬能公式不一般,化為有理式居先。公式順用和逆用,變形運用加巧用;

    1加余弦想余弦,1減余弦想正弦,冪升一次角減半,升冪降次它為范;

    三角函數反函數,實質就是求角度,先求三角函數值,再判角取值范圍;

    利用直角三角形,形象直觀好換名,簡單三角的方程,化為最簡求解集;

    《不等式》

    解不等式的途徑,利用函數的性質。對指無理不等式,化為有理不等式。

    高次向著低次代,步步轉化要等價。數形之間互轉化,幫助解答作用大。

    證不等式的方法,實數性質威力大。求差與0比大小,作商和1爭高下。

    直接困難分析好,思路清晰綜合法。非負常用基本式,正面難則反證法。

    還有重要不等式,以及數學歸納法。圖形函數來幫助,畫圖建模構造法。

    《數列》

    等差等比兩數列,通項公式n項和。兩個有限求極限,四則運算順序換。

    數列問題多變幻,方程化歸整體算。數列求和比較難,錯位相消巧轉換,

    取長補短高斯法,裂項求和公式算。歸納思想非常好,編個程序好思考:

    一算二看三聯想,猜測證明不可少。還有數學歸納法,證明步驟程序化:

    首先驗證再假定,從k向著k加1,推論過程須詳盡,歸納原理來肯定。

    五、《復數》

    虛數單位i一出,數集擴大到復數。一個復數一對數,橫縱坐標實虛部。

    對應復平面上點,原點與它連成箭。箭桿與x軸正向,所成便是輻角度。

    箭桿的長即是模,常將數形來結合。代數幾何三角式,相互轉化試一試。

    代數運算的實質,有i多項式運算。i的正整數次慕,四個數值周期現。

    一些重要的結論,熟記巧用得結果。虛實互化本領大,復數相等來轉化。

    利用方程思想解,注意整體代換術。幾何運算圖上看,加法平行四邊形,

    減法三角法則判;乘法除法的運算,逆向順向做旋轉,伸縮全年模長短。

    三角形式的運算,須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方開方極方便。

    輻角運算很奇特,和差是由積商得。四條性質離不得,相等和模與共軛,

    兩個不會為實數,比較大小要不得。復數實數很密切,須注意本質區別。

    六、《排列、組合、二項式定理》

    加法乘法兩原理,貫穿始終的法則。與序無關是組合,要求有序是排列。

    兩個公式兩性質,兩種思想和方法。歸納出排列組合,應用問題須轉化。

    排列組合在一起,先選后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考慮。

    不重不漏多思考,捆綁插空是技巧。排列組合恒等式,定義證明建模試。

    關于二項式定理,中國楊輝三角形。兩條性質兩公式,函數賦值變換式。

    七、《立體幾何》

    點線面三位一體,柱錐臺球為代表。距離都從點出發,角度皆為線線成。

    垂直平行是重點,證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環現。

    方程思想整體求,化歸意識動割補。計算之前須證明,畫好移出的圖形。

    立體幾何輔助線,常用垂線和平面。射影概念很重要,對于解題最關鍵。

    異面直線二面角,體積射影公式活。公理性質三垂線,解決問題一大片。

    八、《平面解析幾何》

    有向線段直線圓,橢圓雙曲拋物線,參數方程極坐標,數形結合稱典范。

    笛卡爾的觀點對,點和有序實數對,兩者—一來對應,開創幾何新途徑。

    兩種思想相輝映,化歸思想打前陣;都說待定系數法,實為方程組思想。

    三種類型集大成,畫出曲線求方程,給了方程作曲線,曲線位置關系判。

    四件工具是法寶,坐標思想參數好;平面幾何不能丟,旋轉變換復數求。

    解析幾何是幾何,得意忘形學不活。圖形直觀數入微,數學本是數形學。

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